Amikor először hallottam erről a tényről, teljesen ledöbbentem. Kiderült, hogy létezik egy olyan összefüggés a háromszögekkel kapcsolatban, amely több mint kétezer éven át, a kitartó kutatások ellenére is elkerülte a legkülönbözőbb kultúrák tudósainak és matematikusainak figyelmét!
Az ókori egyiptomiak, babiloniak és görögök, valamint a kínai és az iszlám matematikusok számára a háromszögek a geometria sarokkövét jelentették. Arról nem is beszélve, hogy az indiai tudósok a trigonometriát egyenesen hatalmas, önálló tudományággá formálták.
A háromszög valószínűleg a legalaposabban feltérképezett alakzat az emberiség történelmében. A Kr. e. 2000 körül élt egyiptomi matematikusoktól kezdve egészen a reneszánsz kori Európáig hihetetlen intenzitással vizsgálták őket. Már maga a gondolat is képtelenségnek tűnt, hogy bármi újat fel lehetne még fedezni velük kapcsolatban – mi maradhatott volna feltáratlan ennyi idő után?
A 18. század közepén azonban egy zseniális matematikus, Leonhard Euler úgy döntött, újra megvizsgálja a háromszögek tulajdonságait. Ez olyasmi volt, amit a tudósok többsége addigra teljesen értelmetlen időpocsékolásnak tartott, hiszen szilárdan hitték, hogy már minden lehetséges összefüggést rég felfedeztek. De az, hogy a többség nem talál semmi újat, még nem jelenti azt, hogy nincsenek rejtett titkok. Nézzük meg közelebbről Euler felfedezését és annak lenyűgöző szépségét!
Mi is a háromszög „középpontja”?
Először is tisztázzuk, mit is értünk egy háromszög középpontján. Mindannyian tudjuk, hol van egy kör közepe, de egy háromszögnél ez korántsem ilyen egyértelmű. Általánosságban egy háromszögnek három kiváló jelöltje is van erre a címre, amelyeket nézőponttól függően mind „középpontnak” nevezhetünk.
Képzeld el a súlypontot mint a háromszög tömegközéppontját. Ha a háromszöget gondolatban egy tű hegyére vagy egy ceruzára helyeznénk ebben a pontban, tökéletesen egyensúlyban maradna. Ezt a pontot geometriai középpontnak is szokás nevezni, és nem mellesleg a három súlyvonal metszéspontja adja ki.
Csak emlékeztetőül: a háromszög súlyvonala az a szakasz, amely egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köt össze. Bármely háromszögnek pontosan három súlyvonala van (minden csúcsból indul egy), és ezek mind egyetlen pontban, a súlypontban metszik egymást. Nem tudom, te hogy vagy vele, de számomra egyáltalán nem tűnik magától értetődő dolognak, hogy a három vonalnak miért kellene hajszálpontosan egyetlen helyen találkoznia – de a matek már csak ilyen, mégis megteszik.
A körülírt kör középpontja
A második jelöltünk a körülírt kör középpontja.
Bármely háromszög köré rajzolható egy (és csakis egy) olyan kör, amely mindhárom csúcsán áthalad. Ezt nevezzük a háromszög köré írt körnek, a középpontját pedig értelemszerűen a körülírt kör középpontjának. Ezt a pontot a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja adja meg. (Az oldalfelező merőleges egy olyan egyenes, amely a háromszög oldalát pontosan a felénél, derékszögben metszi.) Már önmagában ez is egy rendkívül elegáns geometriai tény.
A magasságpont
A harmadik jelölt a magasságpont (más néven ortocentrum). Ez az a pont, ahol a háromszög három magasságvonala – vagy azok meghosszabbítása – metszi egymást. Ez a pont ráadásul a háromszögön belül, de akár azon kívül is elhelyezkedhet (valójában csak akkor esik a háromszög belsejébe, ha az hegyesszögű).
Azt a tételt, miszerint a három magasságvonal egy pontban metszi egymást, már az ókori görögök is ismerték, és maga Arkhimédész is alkalmazta. Érdekesség, hogy a talpponti háromszög (a magasságok talppontjai által alkotott újabb háromszög) beírt körének középpontja tökéletesen egybeesik az eredeti háromszög magasságpontjával.
Euler felfedezése
Mindhárom említett középpont ismert volt már az ókori görögök (sőt, talán még korábbi civilizációk) számára is. Mire eljutottunk Euler koráig, a matematikusok már mintegy kétezer éve tanulmányozták ezeket a tulajdonságokat.
Aztán 1765-ben (egyes források szerint 1763-ban) Euler egy egészen megdöbbentő felfedezést tett: észrevette, hogy ez a három középpont mindig egyetlen egyenesre esik! Ez a felismerés minden bizonnyal fenekestül felforgatta az akkori geometriáról alkotott elképzeléseket.
Ha a háromszög nem szabályos (azaz nem egyenlő oldalú), akkor ez a három középpont három különböző pontot ad, és egyértelműen kijelöl egy vonalat – ezt nevezzük a híres Euler-egyenesnek. Ha viszont a háromszög egyenlő oldalú, a három középpont egyetlen ponttá olvad össze (egy egyenes meghatározásához pedig, mint tudjuk, legalább két pontra van szükség).
Ez a zseniális összefüggés évezredeken át észrevétlen maradt, holott a háromszögeket tényleg a világ minden táján behatóan tanulmányozták, és mind a három középpontot régóta ismerték a tudósok.
Kicsit olyan ez, mintha 2000 éven át nézegettük volna a lisztet, a vizet meg az élesztőt, de senkinek sem jutott volna eszébe kenyeret sütni belőlük.
Ezt egyébként te magad is könnyen ellenőrizheted, ha van kéznél egy papír, egy vonalzó és egy ceruza. Rajzolj egy tetszőleges háromszöget, majd szerkeszd meg benne a súlypontot, a körülírt kör középpontját és a magasságpontot! (Az átláthatóság kedvéért érdemes utána kiradírozni a szerkesztővonalakat.) Ekkor a saját szemeddel láthatod a matematika varázslatát: előtűnik az a titokzatos egyenes, amely mind a három ponton tökéletesen áthalad.
A zseniális svájci matematikus tiszteletére ezt a különleges vonalat ma „Euler-egyenesnek” nevezzük.
Sőt, mi több: az Euler-egyenes áthalad az úgynevezett kilencpontos kör (más néven Feuerbach-kör vagy Euler-kör) középpontján is. Ez a kör a háromszög három oldalának felezőpontjain, a három magasság talppontjain, valamint a magasságpontot a három csúccsal összekötő szakaszok felezőpontjain halad át. Ez összesen pontosan kilenc pont.
Persze érdemes megjegyezni, hogy léteznek még más izgalmas pontjai is a háromszögeknek, amelyek nem esnek rá erre a vonalra. Mégis, az Euler-egyenes az, amely a legjelentősebbeket egyetlen tökéletes vonalra fűzi.
Elég szomorú, de a mai napig alig beszélünk erről a diákoknak az iskolákban. Én magam is csak jóval az egyetemi matematikai tanulmányaim után hallottam erről először. Pedig ezt minden középiskolásnak látnia kellene! Nem feltétlenül a bonyolult bizonyításokat kellene bemagoltatni velük, hanem egyszerűen csak megmutatni nekik a geometria rejtélyeit és lenyűgöző szépségét. Lehetőséget kellene adnunk a gyerekeknek arra, hogy végre beleszeressenek a matematikába.
Hiszen nem pont ennek kellene lennie a matekoktatás fő céljának? Hogy magával ragadja és lenyűgözze a diákokat. Mert ha a szikra megvan, a szükséges készségek és a tudás már szinte magától, játszi könnyedséggel fog ráragadni mindenkire.
