A 6174 egy olyan szám, amire ránézve az ember csak annyit tud mondani: „Hűha!”. D. R. Kaprekar indiai matematikus fedezte fel teljesen véletlenül, miközben számokkal játszott. De miben is rejlik ennek a konstansnak a különlegessége? És miért annyira meghökkentő ez a felfedezés, hogy azonnal késztetést érzel az ellenőrzésére? Járjunk utána együtt!
A 6174-es konstans – miféle szám ez egyáltalán?
A 6174-es konstans egy olyan négyjegyű szám, amely egészen egyedülálló tulajdonsággal bír:
„Bármilyen négyjegyű számmal is indulsz, néhány matematikai művelet után – amikor az adott számjegyekből képezhető legnagyobb számból kivonod az ugyanazon számjegyekből álló legkisebbet – a végeredmény mindig 6174 lesz.”
Mint mindig, a tisztán matematikai megfogalmazás kissé elvont, és nem feltétlenül érthető belőle azonnal, miről is van szó valójában. Ha azonban kipróbáljuk ezt a szabályt egy konkrét példán, rögtön minden a helyére kerül.
Vegyünk egy tetszőleges négyjegyű számot – ami épp elsőre eszünkbe jut.
Kezdjük egymást követő számjegyekkel: 1234
Rendezzük át a számjegyeket úgy, hogy megkapjuk a belőlük képezhető lehető legnagyobb, illetve legkisebb számot. A példánkban a legnagyobb a 4321, a legkisebb pedig az 1234. A következő lépés: 4321 – 1234 = 3087. Most vegyük az eredményt, és ismételjük meg a folyamatot! Keressük meg a legnagyobbat (8730) és a legkisebbet (0378): 8730 – 0378 = 8352. Újabb kör következik: a legnagyobb a 8532, a legkisebb a 2358. Vonjuk ki őket egymásból, és bumm: 8532 – 2358 = 6174.
Nézzünk egy másik példát: 6789
Cseréljük fel a számjegyeket újra: a legnagyobb a 9876, a legkisebb pedig a 6789 lesz. Vonjuk ki a nagyobból a kisebbet: 9876 – 6789 = 3087. Ahogy az előző példánál, végezzük el a műveletet ezzel az eredménnyel is! A legnagyobb a 8730, a legkisebb a 0378, a különbség: 8730 – 0378 = 8352. És ismét eljutottunk oda, hogy a legnagyobb a 8532, a legkisebb pedig a 2358, így: 8532 – 2358 = 6174.
Még mindig szkeptikus vagy? Próbáljuk ki egy teljesen véletlenszerű számmal: 8251
Bár itt több lépésre lesz szükségünk, a végeredmény ugyanaz a konstans lesz. A legnagyobb szám a 8521, a legkisebb az 1258. Kivonjuk: 8521 – 1258 = 7263. Továbbhaladva a legnagyobb a 7632, a legkisebb a 2367: 7632 – 2367 = 5265. Folytassuk a sort: 6552 – 2556 = 3996. Aztán: 9963 – 3699 = 6264, majd: 6642 – 2466 = 4176, és végül elérkezünk a varázslathoz: 7641 – 1467 = 6174.
Vegyük mondjuk a születésnapomat: 1709
Ezekből a számjegyekből a legnagyobb a 9710, a legkisebb a 0179 (vagyis 179), tehát 9710 – 179 = 9531. Jöhet az újabb kivonás: 9531 – 1359 = 8172, utána 8721 – 1278 = 7443, majd 7443 – 3447 = 3996. Ezt követi a 9963 – 3699 = 6264, a 6642 – 2466 = 4176, és a végén ismét ott vagyunk: 7641 – 1467 = 6174.
De mi történik akkor, ha magát a 6174-et választjuk kezdőszámnak?
Nézzük meg együtt: a legnagyobb a 7641, a legkisebb az 1467, azaz 7641 – 1467 = 6174. A konstans rögtön az első lépésben kiadja magát. Ez egyszerűen zseniális!
Persze, ahogy minden szabálynak, úgy ennek is megvannak a maga kivételei:
– A módszer nem működik olyan számoknál, amelyekben minden számjegy megegyezik (például 8888 – 8888 = 0).
– Szintén nem használható olyan számoknál, ahol három számjegy azonos, a negyedik pedig pont 1-gyel tér el tőlük. Ezek a számok az átalakítás és kivonás után ugyanis mindig 999-et adnak eredményül, a következő lépésben pedig 0-t kapunk (ilyenek például az 1112, 2212, 9899 stb.).
